246. Oh...!

Nella fantasia

Nella fantasia io vedo un mondo giusto,
Li tutti vivono in pace e in onestá.
Io sogno d'anime che sono sempre libere,
Come le nuvole che volano,
Pien' d'umanità in fondo all'anima.

Nella fantasia io vedo un mondo chiaro,
Li anche la notte é meno oscura.
Io sogno d'anime che sono sempre libere,
Come le nuvole che volano.

Nella fantasia esiste un vento caldo,
Che soffia sulle cittá, come amico.
Io sogno d'anime che sono sempre libere,
Come le nuvole che volano,
Pien' d'umanitá in fondo all'anima.

245. La solución

Aquí les muestro el enunciado y un resumen de la solución del problema propuesto en el párrafo 243. En esa solución la Física ocupa solo el primer renglón, el resto es definir con una notación adecuada la M y la N cuya relación se intenta encontrar y luego manipular un poco las expresiones que van apareciendo. Algunos pasos muy simples, como por ejemplo dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número o efectuar el producto de dos raíces transformándolo en la raíz del producto de sus radicandos, se han suprimido.
Para ver bien la solución, al menos en mi máquina, es conveniente ampliar un poco la figura.

Juan suelta una piedra sin velocidad inicial desde la terraza de un edificio de altura H. Pedro, que se encuentra en la vereda con un cronómetro muy preciso, detecta que la piedra recorre un cierto segmento central de su trayectoria de longitud H/M (donde M es un número real) en un tiempo igual al cociente T/N realizado entre el tiempo total T de caída desde la terraza y otro número real N. Encuentre una fórmula que permita calcular M, tomando N como único dato. Esto significa, en términos físicos, encontrar la fracción que se forma con las longitudes teniendo tan solo el conocimiento de la fracción que se forma con los tiempos.
Nota: defino "segmento central de la trayectoria" a cualquiera que posea la distancia entre su extremo superior y la terraza idéntica a la distancia entre su extremo inferior y la vereda.
Otra: no está de más comprobar con algunos valores numéricos la corrección de la fórmula que obtenga antes de publicarla.

244. Dibujamos...?

En la figura vemos un polígono regular de 9 lados con todas sus diagonales. ¿Será posible dibujar todo el esquema (lados y diagonales) sin levantar el lápiz (obviamente, sin pasar más de una vez sobre cada segmento) y cambiando de dirección tan solo en los vértices? Bueno, sí es posible: hay un teorema que prueba que eso es posible en todos los polígonos de número impar de lados e imposible en todos los de número par. Una historia diferente es encontrar cómo hacerlo. Una manera de indicar como hizo cada uno ese dibujo es simplemente dar una secuencia de letras que representan los vértices que hemos tocado con el lápiz. Un ejemplo, si es que comenzamos por el vértice a: a e g h ... ... ... así hasta el final. Se trata de dibujar 36 segmentos consecutivos así que la secuencia tendrá, necesariamente, 37 letras. Una sugerencia es entrenarse primero con los polígonos de 5 y 7 lados que son casos bastante simples. Ocurre que recientemente creo haber descubierto que aquellos polígonos con número impar de lados pero donde ese número no es primo (como es el caso del 9, el 15, etc) han de generar esquemas de lados y diagonales más difíciles de dibujar sin levantar el lápiz que en el caso contrario donde el número es primo. La verdad es que al momento todavía no estoy absolutamente convencido de esto último.

Entendido todo esto, propongo como concurso que mis lectores ofrezcan como solución esa secuencia de 37 letras que representa al dibujo realizado, sin levantar el lápiz, de todas las diagonales y todos los lados del eneágono regular que se ve más arriba. La solución evidentemente no es única así que yo tendré que rehacer el dibujo sobre la base de la secuencia ofrecida.

El premio será el título atemporal y universal de "Gran Dibujante Poligonal".

Espero que lo intenten... sobre todo después del trabajo que me llevó hacer el dibujito jeje...

Mucha suerte para todos. Aprovecho para recordarles que el concurso del párrafo 243 todavía está abierto.

243. Parecido...?

Para movilizar un poco las neuronas después de los festejos de fin de año, les voy a proponer enseguida un problema (del que soy autor) cuyo texto es muy similar al de la entrada 241 pero de resolución bastante más trabajosa. Aunque recorre las ideas más elementales de la cinemática unidimensional, a mí (tal vez debido a los festejos antes citados...) me llevó un tiempo considerable obtener el resultado.

El premio para el primero que lo resuelva será, como se acostumbra aquí, un título que podrá usar sin límite de tiempo: "Habilísimo Solucionador de Problemas Físico-Matemáticos".

Suerte para todos.

El problema:

Juan suelta una piedra sin velocidad inicial desde la terraza de un edificio de altura H. Pedro, que se encuentra en la vereda con un cronómetro muy preciso, detecta que la piedra recorre un cierto segmento central de su trayectoria de longitud H/M (donde M es un número real) en un tiempo igual al cociente T/N realizado entre el tiempo total T de caída desde la terraza y otro número real N. Encuentre una fórmula que permita calcular M, tomando N como único dato. Esto significa, en términos físicos, encontrar la fracción que se forma con las longitudes teniendo tan solo el conocimiento de la fracción que se forma con los tiempos.
Nota: defino "segmento central de la trayectoria" a cualquiera que posea la distancia entre su extremo superior y la terraza idéntica a la distancia entre su extremo inferior y la vereda.
Otra: no está de más comprobar con algunos valores numéricos la corrección de la fórmula que obtenga antes de publicarla.