miércoles, 23 de febrero de 2011

216. Los números primos




Nuestro amigo Víctor plantea en un comentario al párrafo anterior estas interesantes preguntas:


"Tengo entendido que hay matemáticos que se dedican a buscar números primos, lo que me sugiere que la "aparición" de tales números no sigue una pauta regular.

1º ¿Estoy en lo cierto, o, por el contrario, los números primos SI que se encuentran ordenados de forma regular?

2º En caso de que NO sigan una pauta regular: ¿por qué es así?

3º Y por último (para conocer cuál es la mecánica de esa búsqueda): ¿qué procedimiento tendríamos que seguir para encontrar los números primos que existan entre, por ejemplo, los números 4.000 y 14.000?"

Voy a tratar de responder aquí hasta donde yo sé, pero los lectores que deseen proponer sus ideas serán bienvenidos.

Los números primos son aquellos números enteros que no poseen divisores que produzcan un cociente entero y exacto. Obviamente se exceptúa de la regla la división por el mismo número y por el número 1, que siempre producen un número entero. Se llaman compuestos a los enteros que no son primos. Si, por ejemplo, se parte del número 2 y se suma 2 repetidas veces para producir 4, 6, 8, ... todos estos números son compuestos con excepción del primero de la serie que es primo: el 2. El siguiente número, 3, no está en la sucesión anterior (no es múltiplo de 2) y, por lo tanto, es primo. Igual que antes, sumamos 3 repetidas veces para encontrar 6, 9, ... que son todos compuestos salvo el primero (el 3). Ahora el 4 no puede usarse porque está en la sucesión del 2 y hay que pasar al 5, el que por no estar en sucesión anterior alguna, es primo, igual que antes, sumamos... etc etc.
Como se ve, los compuestos están perfectamente ordenados en sucesiones muy fáciles de formar. Los primos serían los "huecos" del conjunto de todas esas sucesiones y nadie conoce un ordenamiento que los incluya en su totalidad. Pero pienso que no hay una razón "de principio" que impida la existencia de un tal ordenamiento. Esto querría decir que propuesto un cierto número (por ejemplo 2011) se podría responder inmediatamente si es o no primo.
Por el momento, saber si un número es primo o no, requiere dividirlo por los primos anteriores... aunque no todos, por lo siguiente: cuando se divide un número por otro para obtener un cociente entero y un "resto" también entero, puede pasar que el cociente sea mayor o menor que el divisor. Por ejemplo: 6 dividido 2 da 3 y 6 dividido 3 da 2. Si el resto ha dado cero para una división con un divisor menor que la raíz cuadrada del número, volverá a dar cero con un divisor mayor que esa raíz cuadrada, y si nunca el resto dio cero con los divisores menores que la raíz cuadrada, nunca dará cero. Entonces basta probar con divisores menores que la raíz cuadrada del número. Para los números del 1 al 100 hay que probar con los divisores 2, 3, 5 y 7 y para los números del 1 al 1000 hay que probar a dividirlos por los primos hasta el 31.
Para lo propuesto por Víctor en su punto 3, habría que probar a dividir los números del 4000 al 14000 por divisores que, para los cercanos al 4000, serían los primos menores que el 61(incluyendo éste) y ya para los cercanos al 14000 habría que extenderse hasta el 113. Por supuesto, se encuentran en Internet tablas de números primos y programitas rápidos que responden si un cierto número es primo o no.
En resumen, no existe un algoritmo "breve" para detectar si un número es primo o no ya que, cuando se proponen números relativamente "grandes", el número de divisores a probar también es "grande" pero, desde luego, los sistemas informáticos realizan este proceso a gran velocidad.
Un inesperado beneficio colateral del estudio de los números primos consiste en que el moderno trabajo sobre claves secretas y encriptación de la información se basa en los teoremas que se han ido obteniendo en ese estudio.
Los interesados en estos temas pueden empezar poniendo en un buscador de Internet, por ejemplo, la frase "Máquina Enigma".

Ilustra esta entrada la excelente foto de una máquina Enigma, tomada por Víctor en el Deutsches Museum de Berlín.

Si algún lector desea agregar algo, como ya dije, es bienvenido.

Saludos a todos.

miércoles, 16 de febrero de 2011

215. Sobre el concurso

Ayer por la tarde recibí en persona una respuesta correcta al concurso del párrafo 214 y le dije a los autores que la subieran al blog. A los pocos minutos eso hicieron e inmediatamente me llegó el correo con el texto del comentario como siempre ocurre. Cuando miro el blog no encuentro ese comentario con la respuesta. A veces ocurre al revés: el comentario está pero el correo de confirmación demora unos minutos, así que decidí esperar un poco a ver qué pasaba. Hoy al mediodía encuentro una respuesta correcta en el blog y también su correo de confirmación, pero de otros autores. ¿Qué ocurrió con el primer comentario? bueno, todos saben que el autor de un comentario puede borrarlo pero queda un mensaje que dice "este comentario ha sido suprimido por el autor" (se entiende que se refiere al autor del comentario). Ahora bien, sólo el autor del blog puede retirar ese mensaje y lograr que el comentario desaparezca definitivamente cosa que, obviamente, yo no hice. Así que decidí transcribir en esta entrada los dos comentarios, tomándolos de mi correo, aunque el segundo como les decía está también en el párrafo anterior.

Por supuesto, felicito a los dos grupos de dos autores y les otorgo a los cuatro el premio correspondiente que es, como se anticipa en el párrafo 204, un "Prestigio Internacional" como importantes y eficientes solucionadores de problemas. Los autores han puesto sus nombres al final de sus propuestas y ahí pueden verlos.

¿A alguno de mis lectores le ha ocurrido anteriormente eso de la inexplicable desaparición de un comentario?

Ah! olvidaba decir que los cuatro autores son excelentes alumnos del Instituto Tecnológico de Buenos Aires y que específicamente han sido alumnos míos en varias oportunidades.

Primera respuesta

Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":

La solucion al acertijo es 4032.

Si se toman los numeros del 4000 al 9999

M C D U
6 9 8 7

Y si tomamos del 10000 al 14000

DM M C D U
1 3 8 7 6

DM decena de millar
M millar
D decena
C centena
U unidad

Sabiendo que cada una de ellas puede tomar los valores indicados mas arriba, se multiplica y se suma 6x9x8x7+1x3x8x7x6 y se obtiene el valor deseado.

4032

Saludos!

Resuelto por:
Santiago Prats
Cristian Greco



Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 19:31


Segunda respuesta

Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":

La respuesta es 4032.

Desde 4000 a 9999:
6 * 9 * 8 * 7 = 9! / 5! = 3024
Desde 10000 a 14000:
1 * 3 * 8 * 7 * 6 = 1008
1008 + 3024 = 4032

Un abrazo Roberto.

Oxoby
Lerendegui



Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 23:39

jueves, 10 de febrero de 2011

214. ¡A contar!

Este nuevo acertijo requiere que el lector determine cuántos números enteros entre el 4000 y el 14000 carecen de cifras repetidas.
Un premio fabuloso aguarda al ganador según el texto del párrafo 204 del blog.

¡Suerte para todos!

miércoles, 2 de febrero de 2011

213. ¡A pensar!

Hace tiempo que los lectores especialistas en Física o Matemática no logran superar a los lectores especialistas en otros temas en la resolución de pequeños acertijos de Física o Matemática. Así que tendrán ahora su oportunidad. Si no la aprovechan... luego no se quejen.

Se desea diseñar un tablero al estilo del tablero de ajedrez, cuadrado y con casillas todas idénticas, también cuadradas.
¿Cuántas casillas en total tendrá un tablero así diseñado, si se exige que (casi exactamente) una de cada seis, o sea el 16,6%, esté en contacto con el borde del tablero?

Los premios a estos concursos se detallan en el párrafo 204.

Mucha suerte para todos.